Anche se non si riesce ad adoperare una terminologia unificata, tuttavia la ricerca del peso è descritta da relazioni matematiche.

Si può esprimere lo spessore della sagoma attraverso un valore numerico adimensionale.

Se si osservano le tabelle di sagome con diverso spessore, come quelle riportate a pag. ATS-I03-03-Tabelle, si possono fare alcune osservazioni importanti:

• In primo luogo le tabelle variano in termini assoluti da ditta a ditta, per cui la sagoma definita “leggera” da una ditta, può essere “media” per un’altra.

• In secondo luogo un peso a volte varia a seconda delle differenze tra sagoma media e pesante.

• In terzo luogo, le tabelle di sagome sono costruite progressivamente o in ordine decrescente, per cui le campane di toni gravi in termini assoluti possono essere considerate più o meno pesanti rispetto alla tabella di sagome.

Se in un documento si afferma che la sagoma di una campana è “pesante”, questa sola affermazione non è chiara perché:

a) si basa solo una dichiarazione del fonditore;

b) mancano documentazioni e specifiche tecniche;

c) non si conoscono i calcoli oggettivi.

È ovvio che la pesantezza della sagoma di una campana dipende dalla loro massa. Quindi il presente documento serve per rispondere alla domanda: Che cosa distingue una sagoma pesante da una media?

Quasi tutte le tabelle delle sagome danno la seguente definizione: La sagoma di una campana è pesante se ha lo stesso diametro di una media ma è più acuta di un semitono.

Naturalmente si può definire anche una sagoma leggera: La sagoma di una campana è leggera se ha lo stesso diametro di una campana medio pesante, ma suona un semitono più basso.

È inoltre possibile estendere tale definizione nei casi di sagome ultra pesanti o ultra leggere, per cui il suono risulta più acuto di due semitoni o più grave di due semitoni.

Le definizioni sopra riportate contengono così solo due dati: il Diametro d e la frequenza f, tali che il loro prodotto d . f è costante per uno stesso tipo di sagoma, quindi a condizione che la Tabella delle sagome non sia decrescente, né progressiva.

Tale dato non è nuovo, esprime ciò che i fonditori sapevano da secoli: il rapporto tra il diametro di due campane appartenenti alla stessa sagoma equivale all’intervallo di tono che sussiste tra esse (es. 3:4 per una Quarta).

Per i nostri scopi è importante sapere che il valore di questo prodotto d . f si può usare direttamente come misura della pesantezza della sagoma. Può servire anche per verificare rapidamente se una tabella di sagome è decrescente o progressiva oppure no.

Ora, poiché il rapporto di frequenza per un semitono temperato è pari a 2^(1/12), la definizione sopra si può formulare come: la sagoma di una campana è pesante se il prodotto del diametro per la frequenza nominale (d . f_n) è pari a 2^(1/12) dello stesso prodotto in una campana a sagoma medio pesante.

Questa definizione è confermata da quasi tutte le tabelle di sagome, qualunque siano le progressioni considerate.

Se si assume che la massa di una campana è la terza potenza della variazione di diametro (cioè diametro doppio → 8 volte la massa), cioè m = d ³, ne consegue che m . f ³ è una misura della pesantezza della sagoma.

Per il rapporto tra sagome medie e pesanti, si deve avere un valore necessariamente maggiore che è compreso tra 2^(3/12) e 2^(4/12).

Uno studio statistico condotto sui dati di 1200 campane ha dimostrato che il valore 2^(3,6/12) è quello che più si avvicina a quello reale.

La sagoma di una campana è quindi pesante quando il prodotto m . f ³ = 2^{(3,6 / 12)} volte maggiore dello stesso prodotto in una campana di sagoma medio pesante.

Questa serie di valori si può verificare anche considerando molte tabelle di sagome.

Il prodotto dei valori  d . f  e m . f ³ è correlato da un coefficiente pari a 0,99, cioè:  d . f = 0,99 m . f ³

Allora la valutazione della pesantezza delle sagome può essere effettuata anche utilizzando il valore del rapporto di frequenze valutato rispetto ad una campana campione, di solito do3.

Quindi basta dividere (m . f ³ ) per (f ³(do3)) per ottenere la massa equivalente m’ della campana do3. Una campana appartenente allo stesso tipo di sagoma è tale che il prodotto m . f ³ = m’ (do3).

Anche se per alcuni esperti il procedimento che ora si descrive potrebbe sembrare meno rigoroso: si sa che spesso per determinare il peso della sagoma si calcola il rapporto tra lo spessore del bordo e il suo diametro. Si trova che il coefficiente di correlazione dei valori di s / d vale 0,5 per i valori d · f oppure per i valori di m · f ^3. Così che il peso delle sagome pesanti risulta non superiore del 25%.

Infine, per completezza si è introdotto un altro valore, che è anche un possibile mezzo per valutare il peso delle sagome:

se si combinano le dimensioni (d · f ) e (m · f ³) , si ottiene una densità virtuale (m / d ³), cioè, la densità media ricavata dal rapporto tra la massa m della campana divisa per il diametro d elevato al cubo (la cui espressione a prima vista sembra molto allettante), tuttavia comporta un aumento della massa riferita allo stesso diametro come se si trattasse di una campana più grave.

Allora la correlazione dei valori m / d³ con il valore 0,5 non è adatta per il nostro scopo.

Se valutiamo i tipi di misura appena trovati per considerare la loro idoneità a calcolare il peso di una sagoma rispetto a un'altra, osserviamo che:

quindi si deduce che tra le varie espressioni di calcolo, solo i primi due prodotti meritano di essere presi in considerazione.

Si vuole anche stimare approssimativamente i loro scostamenti (secondo la teoria dell'errore) e considerare una campana sol3 ideale di diametro 1 metro e di massa pari a 650 kg. La gamma di frequenza ha uno scarto massimo di 1/16 di semitono con un errore pari al 0,36%, mentre secondo l'espressione (m . f³ ) si ottiene un errore pari a 1,08%.

Se la misura del diametro ha un'accuratezza millimetrica, con un errore dello 0,1%, si ottiene che il nostro prodotto (d · f ) fornisce un errore dello 0,46% in peso.

Valutiamo ora la massa con un errore massimo di 1 kg, quindi questo è un errore pari allo 0,15%, che nel calcolo di (m · f ³ ) si trasforma in un errore peri a 1,23%, il triplo dell'errore ottenuto con la formula di (d * f ).

Se la massa non è determinata mediante pesatura, ma solo stimata, allora occorre valutare la precisione della nostra stima di massa: (m) ± 20 kg raggiungendo così un errore pari allo 4,16% derivato dalla formula (m · f ³ ) o, in alternativa, utilizzando m' (do 3 ) che fornisce un errore pari a 9 volte quello calcolato con la formula (d · f ).

Ora, se si tenta di ricavare la tipologia di sagoma da numeri assoluti, si ottengono risultati a fatica.

Nel secolo scorso si era data una linea qualitativa - in termini assoluti - per ottenere tipologie di sagome secondo le linee guida di Limburg per le quali le masse minime definite per tipologia di sagoma erano le seguenti (riferite al do3):

Bib-TS-000 - Testo di Ing. Arch. Michele Cuzzoni